Etude de la connexité des surfaces algébriques réelles

Ce travail en mathématiques puise son inspiration dans les sujets liés au 16-ème problème de Hilbert. En particulier, le nombre de composantes connexes d'une surface algébrique réelle est le thème de ce travail. Nous discutons des différentes manières d'obtenir des composantes connexes ainsi que leurs géométrie. Ce mémoire est organisé en deux parties. Dans la première nous apportons une vue panoramique de résultats plus anciens, tels que les courbes de Harnack et de résultats plus récents, comme les bornes données par R. Silhol. La deuxième partie, donne lieu à une classification géométrique des surfaces à symétrie d’octaèdre. Celle-ci sera donnée en fonction de leurs coefficients et de leurs invariants géométriques et topologiques. Ces surfaces ayant une géométrie particulière, nous avons recours à la formule généralisée de la caractéristique de L. Euler donnée par S. L’Huilier, définie non seulement en termes de faces, d’arêtes et sommets mais aussi de tunnels, cavités et d’excroissances.